پاسخ فعالیت صفحه 100 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۱۰۰ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت به کشف **روابط مثلثاتی زوایای مکمل** (Supplementary Angles) می‌پردازد. زوایای $\mathbf{\alpha}$ و $\mathbf{\pi - \alpha}$ نسبت به محور $y$ قرینه هستند و لذا نقاط انتهایی آن‌ها ($P$ و $Q$) نیز نسبت به محور $y$ قرینه خواهند بود. 🔄 ### ۱. شناسایی مختصات نقاط * **نقطه $P$ (انتهای کمان $\alpha$)**: $P(x_P, y_P) = P(\mathbf{\cos \alpha}, \mathbf{\sin \alpha})$ * **نقطه $Q$ (انتهای کمان $\pi - \alpha$)**: $Q(x_Q, y_Q) = Q(\mathbf{\cos (\pi - \alpha)}, \mathbf{\sin (\pi - \alpha)})$ ### ۲. تکمیل رابطه اول (مختصات $x$) با توجه به قرینه بودن $P$ و $Q$ نسبت به محور $y$، مختصات $x$ قرینه یکدیگرند: $$\mathbf{x_Q = -x_P}$$ $$\implies \mathbf{\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha} \quad \text{(داده شده)}$$ ### ۳. تکمیل رابطه دوم (مختصات $y$) با توجه به قرینه بودن $P$ و $Q$ نسبت به محور $y$، مختصات $y$ آن‌ها مساوی است: $$\mathbf{y_Q = y_P}$$ $$\implies \mathbf{\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha}$$ **نتیجه‌گیری**: $$\mathbf{\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha}$$ $$\mathbf{\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۱۰۰ حسابان یازدهم حالا که روابط سینوس و کسینوس زوایای مکمل را داریم ($\mathbf{\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha}$ و $\mathbf{\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha}$)، می‌توانیم روابط تانژانت و کتانژانت را نیز از طریق تعریف آن‌ها به دست آوریم. 🧐 --- ### ۱. محاسبه $\tan (\pi - \alpha)$ $$\tan (\pi - \alpha) = \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)}$$ با جایگذاری روابط به دست آمده از قسمت الف: $$\tan (\pi - \alpha) = \frac{\sin \alpha}{-\cos \alpha}$$ $$\tan (\pi - \alpha) = -\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) = \mathbf{-\tan \alpha}$$ --- ### ۲. محاسبه $\cot (\pi - \alpha)$ $$\cot (\pi - \alpha) = \frac{\cos(\pi - \alpha)}{\sin(\pi - \alpha)}$$ با جایگذاری روابط به دست آمده از قسمت الف: $$\cot (\pi - \alpha) = \frac{-\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ $$\cot (\pi - \alpha) = -\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) = \mathbf{-\cot \alpha}$$ **نتیجه‌گیری (روابط مکمل)**: $$\mathbf{\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha}$$ $$\mathbf{\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha}$$ $$\mathbf{\tan (\pi - \alpha) = -\tan \alpha}$$ $$\mathbf{\cot (\pi - \alpha) = -\cot \alpha}$$